Математическата основа на географските карти е изключително важен елемент на картите и всъщност е това, което различава географската карта от схемите и рисунките. Тъй като формата на Земята е неправилна, пренасянето на координатите на обектите от реалността към плоскостта на картата или идеалната повърхнина на виртуалния глобус е изключително сложна задача.

Математическата основа на картите може да бъде дефинирана като сбор от правила и математически формули, чрез които неправилната форма на планетата и координатите на обектите, намиращи се на нея, се моделират и изобразяват в различни картографски модели (например хартиени карти, уеб карти, карти в мобилни приложения, виртуални глобуси и др.). Географските данни, съхранявани в бази данни, може да имат и специализирани метаданни, които описват как координатите им съответстват на точките от земната повърхност. Математическата основа на картите включва картографските проекции, понятията мащаб на географските карти, мащаб на данните, координатните системи и др. За всички тях има изработени национални и международни стандарти.

Форма и размери на Земята

В традиционния си вид географските карти представялват двуизмерни (2D) изображения на нашата триизмерна (3D) Земя, чиято форма е неправилна. Разбирането на формата на Земята е основен момент в картографията, тъй като това влияе върху избора на картографски проекции и справянето с деформациите, които възникват при използването им.

Земята като сфероид

Формата на Земята не представлява идеална обемна фигура, но може да бъде представена като сфера, която е леко сплесната на полюсите и изпъкнала на Екватора. Тази форма е резултат от въртенето на Земята, което предизвиква възникването на центробежна сила. В резултат на това екваториалният радиус е по-голям от полярния.

Земята като геоид

Геоидът е тази форма на Земята, която се използва най-много в съвременните технологии за дефиниране точната форма на планетата, като тя служи и за координатна повърхнина. За да се разбере какво точно представлява геоидът, трябва да можем да си представим как би изглеждала Земята, ако водата от моретата и океаните е разпределена равномерно така, както би се разпределила само от въздействието на гравитацията и въртенето на Земята (изключва се влиянието на ветровете, съставът и теченията, приливи и отливи и др.). При тази хипотетична ситуация силата на гравитацията на всяка точка от повърхността на това тяло би била перпендикулярна. От физиката знаем, че гравитационното поле на планетата не е еднородно и силата на гравитацията не е еднаква навсякъде в действителността. Плътността и разпределението на масите вътре в самата структура на Земята е различно – магмата, плътността и теглото на геоложките структури, разпределението на планинските вериги, морските и океански падини варира. Именно затова при използването на геоид (фиг. 3.1.) всички тези фактори се вземат предвид, за да може да се получи такава форма, която от една страна да служи като основа в компютърните модели, а от друга – да има най-близка до реалната форма на планетата.

Фиг. 3.1. Преувеличена форма на геоида1 на Земята, оцветен с изкуствен цвят, който показва отклонението (положително с жълто-червено, отрицателно със синьо) спрямо елипсоида – от +85 m при о. Исландия до – 106 m в южната част на Индия. Вертикалното преувеличение е 10 000 пъти и служи за по-лесно възприемане на тази форма на планетата.

Картографски проекции

Земята има неправилна форма. В процеса на преход от действителната повърхнина на планетата към плоската повърхнина, в която ще се изработва географската карта, се използват картографски проекции. Те служат, за да бъде дефинирано отношението между координатите на точките от земната повърхност към тези координати, които им съответстват в плоскостта на картата. В този случай няма значение дали става дума за хартиена или дигитална карта.

При това пренасяне на координатите на точките от повърхността на планетата към картата се получават множество деформации. Често срещан пример, чрез който лесно може да бъдат показани на практика тези деформации, е като се използва за пример обелването на кората на портокала. Ако се опитаме да премахнем кората от плода и да я поставим в плоскостта на масата, без тя да се разкъса на места, ще се убедим, че тва е невъзможно. Това е така, защото портокалът има неправилна форма, също както Земята. Абсолютно същото нещо се получава и при използването на картографски проекции – получават се деформации на определени места.

Съществуването на деформациите е един от нерешените проблеми в картографията – не съществуват картографски проекции, които да не деформират една или множество части от изобразяваната територия. Именно затова, при всеки конкретен случай, авторите на картите трябва много внимателно да преценяват каква картографска проекция да използват.

Според вида на деформациите, които се предизвикват при използването на различни картографски проекции, те могат да бъдат разделени на следните основни типове:

• Равноплощни проекции (еквивалентни) – те запазват площите на обектите, но изкривяват формата им;

• Равноъгълни проекции (конформни) – те запазват равенството на ъглите и съответно деформират площите, но запазват формата на обектите;

• Произволни проекции – те не запазват нито площите, нито формите.

През 1859 г. френския математик Николас Тисо предлага лесен начин за визуализиране на деформациите, причинени от картографските проекции – това са индикатрисите на Тисо (наричани още елипси на Тисо, елипси на деформацията или индикатриси на деформацията). Те представляват геометричната форма, която произлиза от проектирането на кръг с безкрайно малък радиус от сферата към земната повърхност (фиг. 3.2.). Когато се разглеждат и сравняват картографски проекции, елипсите на Тисо служат като основен ориентир за това какви деформации има по картата. Такова сравнение може да се направи, като се отговори на някои от следните въпроси:

• Каква е формата на елипсите на Тисо при Екватора?

• Каква е формата на елипсите на Тисо в умерените ширини?

• Каква е формата на елипсите на Тисо близо до полюсите?

• Как изглеждат паралелите и меридианите (напр. прави линии, дъги)?

• Под какъв ъгъл се пресичат паралелите и меридианите?

• Има ли увеличаване на площите на елипсите на Тисо в някои направления?

• Има ли промяна на формата на елипсите на Тисо в някои направления?

Фиг. 3.2. Елипсите на Тисо, показващи деформациите при една от картографските проекции, използвани в уеб проекти, EPSG 3395

Според използваната проекционна повърхнина (фиг. 3.3.), чрез която се извършва пренасянето на координатите от планетата към плоскостта на картата, проекциите биват:

• Цилиндрични картографски проекции

• Конусни картографски проекции

• Азимутални картографски проекции

Фиг. 3.3. Различни видове проекционни повърхнини и съответните проекции, получени при използването им – от ляво на дясно: плоска повърхнина и азимутална проекция, в средата – конус и конусна проекция и в дясно – цилиндър и цилиндрична проекция.2

Цилиндрични проекции са тези, които използват повърхнината на мислен цилиндър, допрян или пресичащ земната повърхност. Повърхнината на този цилиндър се „разрязва“ през избран меридиан, така че да се получи плоска географска карта. Цилиндричните проекции могат да бъдат нормални (когато оста на цилиндъра съвпада или е успоредна със земната ос), напречни (когато оста на цилиндъра е перпендикулярна на земната ос) и наклонени (когато оста на цилиндъра е разположена под различен ъгъл от горните два вида). При цилиндричните проекции меридианите се изобразяват като прави линии, успоредни помежду си и отстоящи един от друг на разстояние, равно на съответната им географска дължина (Чолеев, 1996). Цилиндричните проекции биват равноъгълни, равноплощни и произволни.

Едни от най-често използваните в практиката проекции са именно цилиндрични – напр. проекцията на Меркатор (фиг. 3.4.), както и проекцията на Гаус-Крюгер, която се използва при изработването на държавните топографски карти в България. При сравнение на фиг. 3.4. с фиг. 3.5. се вижда, че деформациите, изобразени чрез елипсите на Тисо, които настъпват при използване на цилиндрични проекции, могат да бъдат различни и да променят сериозно начина, по който е представена формата на обектите.

Фиг. 3.4. Проекция на Меркатор (EPSG 3395)

Фиг. 3.5. Цилиндрична равноплощна проекция (EPSG 3975)

Конусните проекции използват повърхнината на въображаем конус, чрез който се проектират координатите от земното тяло към повърхността на картата. По същия начин, както при цилиндричните проекции, конусът може да допира или да пресича земното тяло (фиг. 3.6. и фиг. 3.7). Така се получават прави, напречни и коси конусни проекции. И този тип проекции спрямо деформациите могат да бъдат равноъгълни, равноплощни и произволни. Те обикновено се използват за създаване на карти, които изобразяват части от полукълбата – например за изработване на карти на Европа. Поликонусната проекция, показана на фиг. 3.8. се нарича Американска поликонусна проекция и в миналото е използвана често за изобразяване на картата на света.

Фиг. 3.6. Конусна проекция, изобразяваща Европа в централната част на картата (Esri 102031)

Фиг. 3.7. Конусна проекция, изобразяваща Азия в централната част на картата (Esri 102025)

Фиг. 3.8. Поликонусна проекция (Esri 54021)

Частен случай на конусните проекции са псевдоконусните, от които най-честоизползвана е равноплощната проекция на Бон (фиг. 3.9).

Фиг. 3.9. Равноплощната проекция на Бон (Esri 54023).

При азимуталните проекции се използва плоскост, която мислено се допира в дадена точка от земната повърхност, или я пресича в няколко точки (Фиг. 3.10.). Местата, на които става това пресичане, имат нулеви деформации, а с отдалечаването от тях те нарастват. Азимуталните проекции могат да бъдат конформни, еквивалентни и произволни (Чолеев, 1996).

Фиг. 3.10. Азимутална полярна проекция с допирна точка Северния полюс (Esri 102017).

В практиката е много важно специалистите, работещи с пространствени данни, да съобразяват деформациите, които се получават при използване на различни проекции, с предназначението на картите. Основните фактори, от които зависи каква проекция ще изберем за изработване на карта, са свързани с територията, която бива картографирана; мащабът на картата, аудиторията, за която тя е предназначена и др. Картите на отделни континенти най-често се изработват с конусни или азимутални проекции, а тези на света – с цилиндрични.

Мащаб

Картографският мащаб е отношението между дължината на линия на картата към дължината на хоризонталната проекция на съответната линия върху земната повърхност (Попов, 2012). Мащабът на картата може да бъде изобразен по различен начин:

• Като числен мащаб – когато използваме дроби, за да указваме мащаба – напр. 1: 50 000, където числителят 1 показва, че на 1 cm от картата съответстват 50 000 cm от действителността;

• Като линеен мащаб – когато използваме мащабна линия, за да укажем на какво разстояние от картата съответства тя;

• Като словесен мащаб – когато описваме мащаба чрез изречение, например „На един сантиметър от картата съответстват 50 km от действителността.“

• Като напречен мащаб (или още наричан трансверзален) – той се използва в специализирани карти за по-точно извършване на измервания.

Когато се използва числен мащаб е важно да има съответствие между мерните единици в лявата и дясната част на отношението (фиг. 3.11).

Фиг. 11. Добра практика е мерните единици при числения мащаб да бъдат еднакви. Да я направя ли и нея на Канва?

Изключения от това правило се допускат, но тогава задължително трябва да бъдат пояснени мерните единици и от двете страни, напр.:

1 cm = 50 km

1 cm = 25 km

Линейният мащаб може да изглежда по различен начин и да има различен брой сегменти (Фиг. 3.12.).

Фиг. 3.12. Линеен мащаб.

Линейният мащаб е най-често използван днес във връзка с широкото му приложение при уеб картите. Той е много нагледен и предоставя възможност за лесно ориентиране на потребителите, особено когато те могат да променят мащаба на картата и да се движат по нея (Фиг. 13).

Фиг. 13. Линеен мащаб в Google Maps (вляво) и Openstreetmap (в дясно).

Географски и проекционни (правоъгълни) координати

Координатите са средство за описание на местоположението на обекти в пространството. Чрез тях се дефинира точното местоположение на обектите, съставят се маршрути при ориентиране в пространството и др. Когато линиите на паралелите и меридианите се изобразяват върху картите, те образуват географска мрежа. Тя се използва за ориентиране, намиране на координати или търсене на обекти върху картата. В зависимост от това какъв е мащабът на картата, линиите на паралелите и меридианите може да бъдат изобразени през няколко градуса, минути или секунди (Пенев, 2013).

Географската координатна система се състои от паралели, които свързват точки с еднаква географска ширина, и меридиани, които свързват точките с еднаква географска дължина.

Географската ширина (ϕ) е ъгълът, който се сключва между перпендикуляра, спуснат от точката, за която се извършва измерването, и екваториалната равнина. Тъй като става дума за ъгъл, мерните единици, в които се описват тези стойности, са градуси. Географската ширина на всички точки, разположени по Екватора, е 0°. Стойностите нарастват на север и юг към полюсите и достигат +90° с.ш. при Северния полюс и -90° ю.ш. при Южния (фиг. 3.14).

Географската дължина (λ) представлява ъгълът, който се получава между Гринуичкия меридиан и меридианът, на който се намира точката, за която се извършва измерването. Всички точки, разположени на изток от началния (нулев) Гринуички меридиан, имат източна дължина, чиято максимална стойност може да бъде λ = +180° и.д. На тази дължина се намира линията на смяна на датата. Всички точки, които се намират на запад от Гринуичкия меридиан, до линията на смяна на датата, са със западна дължина от 0° до -180° з.д.

Фиг. 3.14.. Определяне на географска ширина ϕ и географска дължина λ на точка от земната повърхност3

Декартовите или още наричани правоъгълни или проекционни координатни системи са тези, които използват две оси (x, y), чрез които се описва началото на координатите. Самите координати се измерват чрез дължината на перпендикулярните линии, спуснати от точките към осите. Координатите в декартова координатна система имат вид на две поредни числа, които може да бъдат в различни мерни единици – метри, километри и др. За начални оси може да се приемат Екватора и Гринуичкия меридиан или друг избран паралел и меридиан (Фиг. 3.15.).

Фиг. 3.15. Географска (горе) и декартова (долу) координатна система

Координатни системи, използвани в България, са КС 1970 г., която разделя страната на четири зони (К3 – СЗ, К5 – ЮИ, К7 – СИ и К9 - ЮЗ), както и новата Българска геодезическа система 2005 (БГС 2005).